BOJ 11049 행렬 곱셈 순서

https://www.acmicpc.net/problem/11049

문제

크기가 N×M인 행렬 A와 M×K인 B를 곱할 때 필요한 곱셈 연산의 수는 총 N×M×K번이다. 행렬 N개를 곱하는데 필요한 곱셈 연산의 수는 행렬을 곱하는 순서에 따라 달라지게 된다.

예를 들어, A의 크기가 5×3이고, B의 크기가 3×2, C의 크기가 2×6인 경우에 행렬의 곱 ABC를 구하는 경우를 생각해보자.

• AB를 먼저 곱하고 C를 곱하는 경우 (AB)C에 필요한 곱셈 연산의 수는 5×3×2 + 5×2×6 = 30 + 60 = 90번이다.
• BC를 먼저 곱하고 A를 곱하는 경우 A(BC)에 필요한 곱셈 연산의 수는 3×2×6 + 5×3×6 = 36 + 90 = 126번이다.

같은 곱셈이지만, 곱셈을 하는 순서에 따라서 곱셈 연산의 수가 달라진다.

행렬 N개의 크기가 주어졌을 때, 모든 행렬을 곱하는데 필요한 곱셈 연산 횟수의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오. 입력으로 주어진 행렬의 순서를 바꾸면 안 된다.

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입력

첫째 줄에 행렬의 개수 N(1 ≤ N ≤ 500)이 주어진다.

둘째 줄부터 N개 줄에는 행렬의 크기 r과 c가 주어진다. (1 ≤ r, c ≤ 500)

항상 순서대로 곱셈을 할 수 있는 크기만 입력으로 주어진다.

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출력

첫째 줄에 입력으로 주어진 행렬을 곱하는데 필요한 곱셈 연산의 최솟값을 출력한다. 정답은 $2^{31}-1$ 보다 작거나 같은 자연수이다. 또한, 최악의 순서로 연산해도 연산 횟수가 $2^{31}-1$보다 작거나 같다.

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예제 입력 1

3
5 3
3 2
2 6

예제 출력 1

90

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코드

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
    static int[] inputs;
    static int[][] dp;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int N = Integer.parseInt(br.readLine());
        inputs = new int[N + 1];
        StringTokenizer st = null;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            st = new StringTokenizer(br.readLine());
            inputs[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        }
        inputs[N] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        dp = new int[N][N];
        for (int i = 0; i < N; i++) Arrays.fill(dp[i], Integer.MAX_VALUE);

        System.out.println(topDown(0, N - 1));
    }

    static int topDown(int start, int end) {
        // 원소가 1개일 경우에는 곱셈 연산 수가 0이므로 0 반환
        if(start == end) return 0;
        // 이미 이전에 계산해서 최소 연산 수를 구한 범위일 경우, 계산 결과 반환
        if(dp[start][end] != Integer.MAX_VALUE) return dp[start][end];

        /**
         * 계산 범위를 i를 기준으로 두 개로 나누고
         * 각각의 범위에서의 최소 연산 수와
         * 각각의 범위로 나눴을 때 곱셈 연산 수를 더한 값을 구함
         * i를 1씩 늘려가며 반복하여 해당 계산 범위 내에서 최소 연산 수를 구함
         */
        for (int i = start; i < end; i++) {
            int cal = topDown(start, i) + topDown(i + 1, end) + inputs[start] * inputs[i + 1] * inputs[end + 1];
            dp[start][end] = Integer.min(dp[start][end], cal);
        }

        return dp[start][end];
    }
}