BOJ 17471 게리맨더링

https://www.acmicpc.net/problem/17471

문제

백준시의 시장 최백준은 지난 몇 년간 게리맨더링을 통해서 자신의 당에게 유리하게 선거구를 획정했다. 견제할 권력이 없어진 최백준은 권력을 매우 부당하게 행사했고, 심지어는 시의 이름도 백준시로 변경했다. 이번 선거에서는 최대한 공평하게 선거구를 획정하려고 한다.

백준시는 N개의 구역으로 나누어져 있고, 구역은 1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있다. 구역을 두 개의 선거구로 나눠야 하고, 각 구역은 두 선거구 중 하나에 포함되어야 한다. 선거구는 구역을 적어도 하나 포함해야 하고, 한 선거구에 포함되어 있는 구역은 모두 연결되어 있어야 한다. 구역 A에서 인접한 구역을 통해서 구역 B로 갈 수 있을 때, 두 구역은 연결되어 있다고 한다. 중간에 통하는 인접한 구역은 0개 이상이어야 하고, 모두 같은 선거구에 포함된 구역이어야 한다.

아래 그림은 6개의 구역이 있는 것이고, 인접한 구역은 선으로 연결되어 있다.

아래는 백준시를 두 선거구로 나눈 4가지 방법이며, 가능한 방법과 불가능한 방법에 대한 예시이다.

가능한 방법 [1, 3, 4]와 [2, 5, 6]으로 나누어져 있다.	가능한 방법 [1, 2, 3, 4, 6]과 [5]로 나누어져 있다.	불가능한 방법 [1, 2, 3, 4]와 [5, 6]으로 나누어져 있는데, 5와 6이 연결되어 있지 않다.	불가능한 방법 각 선거구는 적어도 하나의 구역을 포함해야 한다.

공평하게 선거구를 나누기 위해 두 선거구에 포함된 인구의 차이를 최소로 하려고 한다. 백준시의 정보가 주어졌을 때, 인구 차이의 최솟값을 구해보자.

---

입력

첫째 줄에 구역의 개수 N이 주어진다. 둘째 줄에 구역의 인구가 1번 구역부터 N번 구역까지 순서대로 주어진다. 인구는 공백으로 구분되어져 있다.

셋째 줄부터 N개의 줄에 각 구역과 인접한 구역의 정보가 주어진다. 각 정보의 첫 번째 정수는 그 구역과 인접한 구역의 수이고, 이후 인접한 구역의 번호가 주어진다. 모든 값은 정수로 구분되어져 있다.

구역 A가 구역 B와 인접하면 구역 B도 구역 A와 인접하다. 인접한 구역이 없을 수도 있다.

---

출력

첫째 줄에 백준시를 두 선거구로 나누었을 때, 두 선거구의 인구 차이의 최솟값을 출력한다. 두 선거구로 나눌 수 없는 경우에는 -1을 출력한다.

---

제한

• 2 ≤ N ≤ 10
• 1 ≤ 구역의 인구 수 ≤ 100

---

예제 입력 1

6
5 2 3 4 1 2
2 2 4
4 1 3 6 5
2 4 2
2 1 3
1 2
1 2

예제 출력 1

1

선거구를 [1, 4], [2, 3, 5, 6]으로 나누면 각 선거구의 인구는 9, 8이 된다. 인구 차이는 1이고, 이 값보다 더 작은 값으로 선거구를 나눌 수는 없다.

예제 입력 2

6
1 1 1 1 1 1
2 2 4
4 1 3 6 5
2 4 2
2 1 3
1 2
1 2

예제 출력 2

0

선거구를 [1, 3, 4], [2, 5, 6]으로 나누면 인구 차이가 0이다.

… 이하 예제 생략

---

코드

조금 시간이 오래 걸린 문제였다.

이번 문제의 풀이 과정은 다음과 같다.

1. 조합으로 1 ~ N/2개의 지역을 뽑고, 뽑은 지역과 뽑지 않은 지역을 두 선거구로 나눈다.
2. 각 선거구에 속한 지역들이 서로 연결돼 있는지 BFS로 탐색하여 올바르게 두 선거구로 나눴는지 검사한다.
3. 올바르게 두 선거구로 나눴을 경우, 두 선거구의 인구 차이를 계산한다.

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Queue;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {

    static int N;
    static int minPopulationDifference = Integer.MAX_VALUE;
    static int[] populations;
    static int[][] linkedAreas;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        N = Integer.parseInt(br.readLine());
        populations = new int[N];
        linkedAreas = new int[N][];
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            populations[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        }

        for (int i = 0; i < N; i++) {
            st = new StringTokenizer(br.readLine());
            int numberOfAreas = Integer.parseInt(st.nextToken());
            linkedAreas[i] = new int[numberOfAreas];
            for (int j = 0; j < numberOfAreas; j++) {
                // 구역을 0부터 구현했기 때문에, 입력받은 구역 번호에서 1을 빼서 저장
                linkedAreas[i][j] = Integer.parseInt(st.nextToken()) - 1;
            }
        }

        // i개의 지역을 선택해서 선거구를 만들어 검사 (조합 개념이기 때문에 N/2 까지만 검사해도 무방)
        for (int i = 1; i <= N / 2; i++) {
            selectAreas(0, i, 0);
        }

        // 인구 차이의 최솟값 변수가 초기 설정값일 경우는 두 선거구로 나눌 수 없을 때이다.
        if(minPopulationDifference == Integer.MAX_VALUE) {
            System.out.println(-1);
            return;
        }

        System.out.println(minPopulationDifference);
    }

    /**
     * 한 선거구로 설정할 지역을 선택하는 메소드
     * @param area 뽑기 시작할 지역 번호
     * @param selectCount 남은 지역 뽑기 수
     * @param selectedAreas 뽑은 지역들을 표현한 비트마스크
     */
    static void selectAreas(int area, int selectCount, int selectedAreas) {
        // 전부 뽑았을 경우, 두 선거구의 인구 차이를 계산
        if(selectCount == 0) {
            calculatePopulationDifference(selectedAreas);
            return;
        }

        for (int i = area; i < N; i++) {
            selectAreas(i + 1, selectCount - 1, selectedAreas | 1 << i);
        }
    }

    /**
     * 두 선거구의 인구 차이를 계산하는 메소드
     * @param selectedAreas 뽑은 지역들을 표현한 비트마스크
     */
    static void calculatePopulationDifference(int selectedAreas) {
        // 올바르지 않게 지역들을 두 선거구로 나눈 경우, 인구 차이 계산 생략
        if(!isDividedCorrectly(selectedAreas)) {
            return;
        }
        
        int populationDifference = 0;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if((selectedAreas & 1 << i) != 0) {
                populationDifference += populations[i];
            } else {
                populationDifference -= populations[i];
            }
        }

        minPopulationDifference = Integer.min(minPopulationDifference, Math.abs(populationDifference));
    }

    /**
     * 올바르게 두 선거구로 나뉘었는지 판단해주는 메소드
     * @param selectedAreas 뽑은 지역들을 표현한 비트마스크
     * @return 두 선거구가 올바르게 나뉘었을 경우 true 반환, 그렇지 않을 경우 false 반환
     */
    static boolean isDividedCorrectly(int selectedAreas) {
        // 선택된 지역과 선택되지 않은 지역을 한 개씩 뽑는다.
        int selectedArea = -1;
        int unselectedArea = -1;
        for (int i = 0; i < N && (selectedArea == -1 || unselectedArea == -1); i++) {
            if((selectedAreas & 1 << i) != 0) {
                selectedArea = i;
            } else {
                unselectedArea = i;
            }
        }

        // 각 선거구에 속한 지역들이 서로 연결돼 있는지 검사
        return checkLinked(selectedArea, selectedAreas, true) &&
                checkLinked(unselectedArea, selectedAreas, false);
    }

    /**
     * 한 선거구에 속한 지역들이 서로 연결돼 있는지 BFS로 검사하는 메소드
     * @param startArea BFS의 시작이 될 지역
     * @param selectedAreas 뽑은 지역들을 표현한 비트마스크
     * @param isSelected 선택한 지역들을 검사할지 확인하는 플래그
     * @return 검사하는 선거구에 속한 지역들이 서로 연결돼 있는 경우 true 반환, 그렇지 않은 경우 false 반환
     */
    static boolean checkLinked(int startArea, int selectedAreas, boolean isSelected) {
        // 선택되지 않은 지역들을 검사할 때는 비트마스크를 반전시킴
        if(!isSelected) {
            selectedAreas = ~selectedAreas;
        }

        // 큐에 시작 지역을 offer 하고 방문처리 한다.
        Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(startArea);
        selectedAreas &= ~(1 << startArea);

        // 같은 선거구에 속한 방문하지 않은 지역들을 BFS로 탐색하며 방문처리 한다.
        // (비트마스크에서 방문한 지역을 0으로 설정하여 방문처리)
        while (!queue.isEmpty()) {
            int checkArea = queue.poll();

            for (int linked: linkedAreas[checkArea]) {
                if((selectedAreas & 1 << linked) != 0) {
                    queue.offer(linked);
                    selectedAreas &= ~(1 << linked);
                }
            }
        }
        
        // 같은 선거구에 속한 지역들을 모두 탐색한 경우 true, 그렇지 않은 경우 false 반환
        int lowestBit = Integer.lowestOneBit(selectedAreas);
        return lowestBit >= 1 << N || lowestBit == 0;
    }
}