BOJ 2098 외판원 순회

https://www.acmicpc.net/problem/2098

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

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입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

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출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

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예제 입력 1

4
0 10 15 20
5 0 9 10
6 13 0 12
8 8 9 0

예제 출력 1

35

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코드

처음 출발하는 도시가 어떤 도시인지 상관 없이 모두 같은 비용이 든다는 포인트를 생각해내기 어려웠던 것 같다.

예를 들면, a, b, c, d 4개의 마을이 있을 때 a -> b -> c -> d -> a 가 최소 순회 비용이 드는 루트라고 한다면,

b -> c -> d -> a -> b 또한 최소 순회 비용이 드는 루트라는 것을 그림을 그려보면 알 수 있다.

이후에는 비트마스킹을 활용해 쉽게 풀 수 있었다.

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
    static int N, allClear, visited;
    static int[][] W;
    static int[][] dp;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        N = Integer.parseInt(br.readLine());
        allClear = (1 << N) - 1; // 모든 도시를 방문했을 때의 비트마스크
        W = new int[N][N];
        dp = new int[N][1 << N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                W[i][j] = Integer.parseInt(st.nextToken());
            }
        }
        
        // 마지막으로 각 마을을 방문했을 때 다시 원래 첫 방문 마을인 0번째 마을로 돌아가는 비용을 dp에 추가 
        for (int i = 1; i < N; i++) dp[i][allClear] = W[i][0];
        visited = 1; // 0번째 마을 방문 비트 설정
        System.out.println(search(0));
    }

    static int search(int current) {
        // 이전에 방문하여 이미 해당 위치에서의 최소 비용을 알고 있는 경우, 최소 비용 반환
        if(dp[current][visited] != 0) return dp[current][visited];

        int min = Integer.MAX_VALUE;
        // i번째 마을 검사 (0번째 마을은 첫 번째로 방문했으므로 검사 생략)
        for (int i = 1; i < N; i++) {
            // i번째 마을을 방문하지 않았고 현재 마을에서 i번째 마을로 갈 수 있으면 검사 진행
            if((visited & (1 << i)) == 0 && W[current][i] != 0) {
                // i번째 마을 방문 비트 설정
                visited |= (1 << i);
                // i번째 마을을 검사했을 때, i번째 마을에서 더 나아갈 수 없는 경우(result == Integer.MAX_VALUE)는 스킵 
                int result = search(i);
                if(result != Integer.MAX_VALUE)
                    min = Integer.min(min, result + W[current][i]);
                // i번째 마을 방문 검사가 끝났으므로 해당 비트 0으로 설정
                visited &= ~(1 << i);
            }
        }
        
        // 해당 위치와 방문 상황에서 최소 비용 반환
        return dp[current][visited] = min;
    }
}